Векторная алгебра. Понятие вектора, и линейные операции над векторами. Понятие базиса. Аффинные системы координат. Проекция вектора на ось. Декартова система координат

Страницы работы

Содержание работы

Глава I

Векторная алгебра

§1.1. Понятие вектора, и линейные операции над векторами.

Вектором называют отрезок, для которого указано какая из его граничных точек яв-ся началом, а какая концом. Длинну такого отрезка наз-ют величиной, модулем, длинной вектора. Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают AB(с чертой сверху, далее просто AB), а его длину |AB| (или просто AB). Принято говорить, что такой вектор приложен к точке A. На рисунке конец обозначают стрелкой.

(рисунок)

Вектор наз-ся нулевым, если его начало и конец совпадают. Он не имеет направления, его длина равна 0, обозначается 0.

Векторы наз-ся коллинеарными, если $ прямая, которой они ||.

(рисунок)

Векторы наз-ся компланарными, если $ плоскость, к-рой они ||.

Нулевой в-р наз-ют || и " плоскости и " прямой. Поэтому: а) " пара в-ров содержащая нулевой - коллинеарна. б) " тройка в-ров содержащая нулевой - компланарна.

" два в-ра наз-ся равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Все нулевые в-ры считаются равными.

Из определения равенства в-ров следует, что точка приложения каждого в-ра может быть выбрана произвольно, т.е. мы не различаем в-ры, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим в-ры, изучаемые в аналитической геометрии, наз-ют свободными.

(рисунок)

Линейными операциями наз-ся операции сложения и умножения.

Суммой a+b в-ров a и b наз-ся в-р, идущий из начала в-ра a в конец в-ра b, при условии что в-р b приложен к концу в-ра a.

(рисунок)

Произведением aa в-ра a на число a наз-ся в-р, коллинеарный в-ру a и имеющий l=|a||a| и направление совпадающее с направлением в-ра a (a>0) или противоположное (a<0).

Не трудно убедится, что лин. операции над в-рами обладают след. св-вами:

a+b=b+a (переместит. св-во)

2° (a+b)+c=a+(b+c) (сочитат. св-во)

3° $ нулевой в-р 0 такой, что a+0=a для " a ($-вание 0)

4° для " a $ противоположный в-р a/, что a+a/=0 ($-вание противоположных в-ров)

5° a(a+b)=aa+ab (первое распределительное св-во)

6° (a+b)a=aa+ba (второе распределительное св-во)

7° a(ba)=(ab)a (сочитательное св-во числовых сомножителей)

8° 1a=a (особая роль числового множителя 1)

Множество свободных в-ров представляет собой пример линейного пр-ва, так называют совокупность объектов произвольной математической природы, для к-рых определены операции '+' и '*' на число, и обладающие св-вами 1°-8°. Кроме свободных в-ров эл-тами лин. пр-ва могут быть т.н. арифметические в-ры, ф-ции, матрицы, лин. оп-ры и т.д. Причём смысл '+' и '*' на число в каждом из этих случаев будет различным.

Если в-ры a, b, c связаны рав-вом a=b+c (1а), то в-р c наз-ют разностью a и b и пишут c=a-b (1б)

Легко док-ть, что a-b=a+(-1)b (2)

Из (1а), (1б) и (2) получаем два способа построения разности заданных в-ров:

(рисунок)

Из этого параграфа вытекает, что в векторной алгебре вычисления подчиняются тем же правилам, что и в алгебре действительных чисел.

§1.2. Понятие линейной зависимости в-ров.

Линейной комбинацией (л/к) в-ров a1, a2, …, an (1) наз-ют выражение вида a1a1+a2a2+…+anan, где a1, a2, …, an - " числа - коэф-т линейной комбинации.

Векторы (1) наз-ют линейно зависимыми (л/з), если найдутся такие числа a1, a2, …, an, из к-рых хотя бы одно ¹0, что будет вып-ся рав-во: a1a1+a2a2+…+anan=0 (2)

Векторы (1) наз-ют л/нез, если (2) вып-ся лишь при условии, что a1=a2=…=an=0

Теорема 1:

Если хотябы один в-р из (1) яв-ся нулевым, то эти в-ры л/з.

Теорема 2:

Если часть в-ров (1) л/з, то и все эти в-ры л/з. Если (1) л/нез, то и " часть яв-ся л/нез.

Теорема 3:

Для того, чтобы в-ры (1) были л/з нид, чтобы один из этих в-ров яв-ся л/к остальных.

Док-во:

необходимость:

] в-ры (1) л/з, т.е. справедливо (2), в котор. хотя бы один ¹0. ] a1¹0, тогда поделив обе части на a1 и приняв b2º-a2/a1, b3º-a3/a1, …, bnº-an/a1, получим: a1=b2a2+b3a3+…+bnan (3), необходимость доказана.

достаточность:

] a1 яв-ся л/к остальных в-ров. Это означает, что найдутся такие числа b1, b2, …, bn, что будет справедливо рав-во (3). Но это рав-во можно представить в виде: (-1)a1+b2a2+b3a3+…+bnan=0. Т.к. среди чисел -1, b2, b3, …, bn хотя бы одно ¹0, то последнее рав-во доказывает л/зависимость. ч.т.д.

Важные св-ва систем из 2-х, 3-х и 4-х в-ров.

Теорема 4:

Для того чтобы a и b были л/з нид, чтобы они были коллинеарными.

Следствие: если a и b неколинеарные, то они л/нез (среди 2-х неколинеар. в-ров не может быть ни одного 0)

Теорема 5:

Для того чтобы a, b и c были л/з нид, чтобы они были компланарными.

Следствие: если a, b и c некомпланарные, то л/нез (среди 3-х некомпланар. в-ров не может быть ни одной пары колинеар. в-ров и не может быть ни одног 0)

Теорема 6:

" 4 в-ра л/нез.

§1.3. Понятие базиса. Аффинные системы координат.

Говорят, что два лежащих в векторной плоскости л/нез в-ра a и b образуют на этой плоскости базис, если " в-р c этой плоскости может быть представлен как л/к в-ров a и b, т.е. если найдутся такие числа l и m, что будет вып-ся рав-во c=la+mb (1).

Говорят, что 3 л/нез в-ра a, b и c образуют в пространстве базис, если" в-р d может быть представлен в виде нек-рой л/к в-ров a, b и c, т.е. если найдутся такие числа l, m и n,что будет вып-ся рав-во d=la+mb+nc (2).

Вопрос о построении базиса на плоскости.

Теорема 1:

" пара лежащих в данной плоскости неколинеар. в-ров a и b образуют на этой плоскости базис.

(рисунок)

Теорема 2:

" тройка некомпланарных в-ров a, b и c образуют в пр-ве базис.

В дальнейшем для определённости будем говорить о базисе в пр-ве.

Равенство (2) наз-ся разложение в-ра d по базисным в-рам a, b и c, числа l, m и n называют координатами или компонентами в-ра d.

d=la+mb+nc (3)

Понятие базиса.

Теорема 3:

Координаты каждого в-ра d относительно базиса a, b и c определяются однозначно.

Док-во: Допустим, что для в-ра d, кроме разложения (2) $ другое разложение по тому же базису: d=l'a+m'b+n'c (4). Вычитая почленно (4) из (3) получим: 0=(l-l')a+(m-m')b+(n-n')c. Т.к. в-ры a, b и c л/з, то это означает, что (l-l')=0, (m-m')=0 и (n-n')=0. ч.т.д.

Теорема 4:

При сложении 2-х в-ров их координаты относительно " базиса складываются. При умножении в-ра на " число все его коорд. умножаются на это число. Равные в-ры имеют равные коорд., а коорд. колинеарных в-ров ~.

Введём в пр-ве кроме базисных в-ров a, b и c ещё и некоторую фиксированную точку O, тем самым в пр-ве будет введена аффинная система координат. Точка O - начало координат, " d однозначно оп-ся своими коорд. l, m и n, а положение " точки M однозначно оп-ся коорд. её радиус вектора OM, если именно OM=aa+bb+gc, то числа a, b и g наз-ют координатами точки M и записывают так M(a, b, g).

(рисунок)

Координаты радиус вектора и самой точки это одно и то же.

] т.M1(a1, b1, g1) и т.M2(a2, b2, g2) яв-ся началом и концом M1M2.

M1M2=OM-OM1 |

OM2=(a1, b1, g1)   | =>, по Теореме 4, M1M2=(a1-a2, b1-b2, g1-g2) (5)

OM1=(a2, b2, g2)   |

Нахождение координат в-ра с помощью координат его начала и конца.

Три в-ра наз-ся упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из них яв-ся первым, вторым и третьим.

При записи мы всегда будем располагать в-ры в порядке их следования.

Упорядоченная тройка в-ров a, b и c наз-ся правой (левой), если после приведения их к общему началу в-р c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой в-рами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Аффинная система координат наз-ся правой (левой), если три её базисных в-ра образуют правую (левую) тройку.

Аффинная система на последнем рисунке с базисными в-рами a, b и cяв-ся правой, а сбазисными в-рами c, a и b - левой. В дальнейшем мы будем использовать только правые системы координат.

§1.4. Проэкция вектора на ось. Декартова система координат.

(рисунок)

Углом между a и b наз-ся угол < 180°. j=(a, b) (сверху уголок)

Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Углом j между a и осью x будем называть угол между двумя в-рами, один из к-рых совпадает с данным, а другой строется как показано на рисунке 2.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
85 Kb
Скачали:
0